最强的公式，用起来绝对爽爆了

当

时，有：

（黎曼 zeta 函数）
（狄利克雷 beta 函数）

其中

其中

附：为了方便计算，我们需要知道

其中 ，

瞬间感觉其他的求和都弱爆了有木有！！

（拉马努金饶命）

维球体的体积：

由它可推出所有偶数维度的半径为

的球体体积之和为

————下面是应用————

以及， 1000 维球体的体积：

---

下面附上几个公式的证明

1.证明

令

，构造正方形围道：

N 为正整数

它在全平面的奇点是

，其中

为

级极点。

下面计算留数：

考虑到展开式：

，其中

为伯努利数

可以得到：

所以：

带回原式得：

由留数定理：

令

，上式变为：

解得：

2. 证明

它也可以用留数证，过程留做习题

下面我们换种方法证～

引理 1：
设： ，则有：
，（ ）
证明：
读者自证不难，留作习题。（提示：先求出 ）

引理 2：
若 在 处 （ ）阶可导，则有：

证明：
显然。（提示：泰勒展开）

取

它的根为

，（

）且均为二重根。

将

展开为无穷乘积：

而我们有：

由引理 1知

式左端等于：

由引理 2知

式右端等于：

此处利用了展开式：

综上可得：

实际上

也可用此方法哦～具体过程留做习题。

3. 证明当

时，有：

由Weierstrass 公式：

可得：

把

分别换成

带入

式，换成

带入

，然后相乘可得：

原式便是此式的特殊情况，即

用此式还能推出这类的无穷乘积：

---

这么多赞了！！不更一下都觉得不好意思！！！我就放几个积分吧～

（弱弱地说一句，我搞不懂的式子不敢放出来……）

这是一个很像泊松积分的东西。

……

若令

，可得到：

下面是一大串拉普拉斯（Laplace）积分的推广：

实际上，它有递推公式：

所以知道

后就能欢乐地推下去了～

抽空再更～o(≧v≦)o