优享资讯 | 二重积分到底该怎么理解？

知乎热榜 ( ) • 2024-04-04 07:36

二重积分到底该怎么理解？

马同学的回答

我们在《马同学图解微积分(上)》中介绍一元函数的积分学时，先是介绍了曲边梯形，如下图所示。

由直线 $x=a$ 、 $x=b$ 、 $y=0$ 及曲边 $y=f(x)$ 所围成的曲边梯形

然后介绍了曲边梯形的面积可以通过黎曼和来逼近，如下图所示，从而引入了定积分的定义。

通过黎曼和来逼近曲边梯形

类似的，也让我们从曲顶柱体的定义、体积计算开始，从而来引入多元函数的积分。

1 曲顶柱体的定义

定义 . 如下描述的立体叫做曲顶柱体，

它的底是 $xOy$ 面上的闭区域 $D$ 为简便起见，本单元之后除特别说明外，都假定平面闭区域、空间闭区域是有界的，且平面闭区域的面积有限、空间闭区域的体积有限
它的侧面是以 $D$ 的边界曲线为准线而母线平行于 $z$ 轴的柱面
它的顶是曲面 $f(x,y)$ ，这里 $f(x,y) \ge 0$ 且在 $D$ 上连续

比如下图所示的就是一个曲顶柱体。

2 曲顶柱体的体积

曲顶柱体的体积 $V$ 可以这样计算，先把闭区域 $D$ 均分成 $n$ 个闭区域，记作：

$\Delta \sigma_1,\ \Delta \sigma_2,\ \cdots,\ \Delta \sigma_n\\$

观察其中的第 $i$ 个小闭区域 $\Delta \sigma_i$ ，如下图左侧所示。以该小闭区域 $\Delta \sigma_i$ 的边界曲线为准线作母线平行于 $z$ 轴的柱面，可得一个小的曲顶柱体，如下图右侧所示，显然该小曲顶柱体是大曲顶柱体的一部分。

由于顶面 $z=f(x,y)$ 是连续的，因此上述小曲顶柱体的顶面起伏不大，所以可在小闭区域 $\Delta\sigma_i$ 上任意选择一点作为 $(\xi_i,\eta_i)$ 点，比如像下图左侧一样选择 $\Delta\sigma_i$ 的中心点作为 $(\xi_i,\eta_i)$ 点。以小闭区域 $\Delta \sigma_i$ 为底、 $f(\xi_i,\eta_i)$ 为高作一平顶柱体，去近似上述的小曲顶柱体，如下图右侧所示。容易算出该平顶柱体的体积 $V_i=f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ 小闭区域 $\Delta\sigma_i$ 的面积也用 $\Delta\sigma_i$ 来表示。

按照上述方法，作出所有以小闭区域为底、小闭区域中心点的函数值为高的小平顶柱体，就可以近似整个曲顶柱体，如下图所示。此时所有小平顶柱体的体积和为 $\sum_{i=1}^{n}V_i=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ 。

将闭区域 $D$ 均分成更多的小闭区域，即不断增加 $n$ ，这些小平顶柱体对曲顶柱体的近似效果越好，如下图所示。

所以可定义当 $n\to\infty$ 时，这些小平顶柱体的体积和就是曲顶柱体的体积 $V$ ，即：

$V=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}V_i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\\$

上一节介绍了曲顶柱体的体积定义为 $\displaystyle V=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ ，其更严格形式要由本节将要介绍的二重积分给出。

3 二重积分的定义

定义 . 设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数，将闭区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域： $\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_i,\cdots,\Delta\sigma_n$
其中 $\Delta\sigma_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的面积，在每个 $\Delta\sigma_i$ 上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$ ，可作出如下和：
$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i=f(\xi_1,\eta_1)\Delta\sigma_1+f(\xi_2,\eta_2)\Delta\sigma_2+\cdots+f(\xi_n,\eta_n)\Delta\sigma_n\\$
规定所有 $\Delta\sigma_i$ 的直径某 $\Delta\sigma_i$ 的直径指的是该小闭区域上任意两点间距离的最大者中的最大值为 $\lambda$ ，如果当 $\lambda\to 0$ 时，无论如何划分闭区域 $D$ ，无论怎样选取 $(\xi_i,\eta_i)$ ，上述和的极限总是存在，那么称此极限为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分（Double integral），记作 $\displaystyle\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ ，即：
$\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\\$
其中 $f(x,y)$ 称为被积函数， $f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 称为被积表达式， $\mathrm{d}\sigma$ 称为面积元素， $x$ 与 $y$ 称为积分变量， $D$ 称为积分区域， $\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ 称为积分和。

上述二重积分的定义简单来说就是，当满足下列两个要求时，

将闭区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域，需要保证 $n\to\infty$ 时有 $\lambda\to 0$
任意选择 $(\xi_i,\eta_i)$ 点，需要保证 $(\xi_i,\eta_i)$ 点在小闭区域 $\Delta\sigma_i$ 上

若下列极限存在，就称此极限为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分 $\displaystyle\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ ，即：

$\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\\$

这么说还是比较抽象，下面通过再次讨论曲顶柱体的体积定义来理解一下上述二重积分的定义。

3.1 $n\to\infty$ 时有 $\lambda\to 0$

先解释下其中的“ $n\to\infty$ 时有 $\lambda\to 0$ ”。上一节给出曲顶柱体的体积定义时，将方形闭区域 $D$ 进行了均分，每个 $\Delta\sigma_i$ 都是同样的小正方形。因此在这里所有 $\Delta\sigma_i$ 的最大直径 $\lambda$ 就是其中某个 $\Delta\sigma_i$ 的对角线，如下图左侧所示。随着 $n$ 增大， $\Delta\sigma_i$ 随之缩小， $\lambda$ 也随之缩小，如下图右侧所示。容易理解，这种划分方式可以保证 $n\to\infty$ 时有 $\lambda\to 0$ 。

除了上述的平均划分方式之外，根据二重积分的定义，我们还需要考虑所有可以保证 $n\to\infty$ 时有 $\lambda\to 0$ 的划分，比如下图的所示的两种不规则划分。

而如下图所示，虽然 $n$ 在不断增大，但由于其中红色的格子始终保持不变，所以并没有 $\lambda\to 0$ ，这样的划分是不满足要求的。

$n$ 增大， $\lambda$ 没有趋于 $0$

3.2 在 $\Delta\sigma_i$ 上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$

再解释下其中的“任意选择 $(\xi_i,\eta_i)$ 点，需要保证 $(\xi_i,\eta_i)$ 点在小闭区域 $\Delta\sigma_i$ 上”。除了像上一节那样选择 $\Delta\sigma_i$ 的中心点作为 $(\xi_i,\eta_i)$ 点外，我们还需要考虑所有在小闭区域 $\Delta\sigma_i$ 上的点都可以选为 $(\xi_i,\eta_i)$ 点，比如下图中的两种选取方式。

3.3 曲顶柱体体积的严格定义

综上，考虑到任意划分、任意选取 $(\xi_i,\eta_i)$ 点，之前给出曲顶柱体的体积定义 $\displaystyle V=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ 需要修正为：

$\displaystyle V=\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\\$

直观来说就是，任意划分、任意选取 $(\xi_i,\eta_i)$ 点，最终构成的这些小平顶柱体也是可以近似曲顶柱体的，如下图所示。

这里有一点需要解释，根据曲顶柱体的定义可知其顶面函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，可以证明，在这个条件下函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分必定存在类似于《马同学图解微积分·上》中学习过可积的充分条件。所以不用考虑任意划分、任意选取 $(\xi_i,\eta_i)$ 点，只考虑均分、选择 $\Delta\sigma_i$ 的中心点作为 $(\xi_i,\eta_i)$ 点的情况就可以了，所以定义曲顶柱体的体积为 $\displaystyle V=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ 也是正确的。

3.4 非矩形的闭区域 $D$

上面对闭区域 $D$ 进行图示时都是用的矩形，实际上也是存在非矩形闭区域 $D$ 的，如下图所示。二重积分的定义在非矩形闭区域 $D$ 上也是适用的，这里不再赘述。

以上内容选自《马同学图解数学》课程，欢迎加入学习！