优享资讯 | 数学史上有哪些数字或规模很大的反例？

知乎热榜 ( ) • 2024-04-18 17:55

Unit ideal的回答

前面的同学大多都是举的“数字很大”的反例，我来举一个“规模很大”的反例。

在1961年，瑞典数学家Jan-Erik Ingvar Roos声称其证明了一个“定理”：

对于满足[AB4*]公理的阿贝尔范畴 $\cal A$ ，函子 $\lim^1$ 在Mittag-Leffler序列上消失。

但在2002年，澳大利亚国立大学的数学教授Amnon Neeman找到了这个命题的反例^[1]。按论文的原话说，这个反例“genuinely strange”（非常地奇怪）。

在构造它之前，我们需要一些一般性的讨论。

对于一个本质小的加性范畴 $\frak A$ ，我们记 ${\sf Cat}({\frak A}^{op},{\sf Ab})$ 是所有形如 ${\scr F}: {\frak A}^{op}\rightarrow {\sf Ab}$ 的加性函子及其间自然变换组成的范畴，其中 $\sf Ab$ 是所有阿贝尔群及其间群同态构成的阿贝尔范畴。给定一个无限基数 $\alpha$ ，我们假定 $\frak A$ 是在 $\leq \alpha$ 的余积下是封闭的，即：对于任何一个基数不超过 $\alpha$ 的集合 $\Lambda$ ，及任意一族 $\frak A$ -对象 $\{s_\lambda:\lambda\in \Lambda\}$ ，余积 $\displaystyle\coprod_{\lambda\in\Lambda}s_\lambda$ 存在。记 ${\sf Ex}({\frak A}^{op},{\sf Ab})$ 是 ${\sf Cat}({\frak A}^{op},{\sf Ab})$ 中所有这样的函子 ${\scr F}:{\frak A}^{op}\rightarrow {\sf Ab}$ 组成的满子范畴，对任何一个基数不超过 $\alpha$ 的集合 $\Lambda$ ，以及任意一族 $\frak A$ -对象 $\{s_\lambda:\lambda\in \Lambda\}$ ，由 $\scr F$ 诱导的态射 ${\scr F}(\displaystyle\coprod_{\lambda\in\Lambda}s_\lambda)\rightarrow \prod_{\lambda\in\Lambda}{\scr F}(s_{\lambda})$ 是同构。

论文证明了：这样的 ${\sf Ex}({\frak A}^{op},{\sf Ab})$ 是一个阿贝尔范畴，并且满足[AB4*]公理。并且在 $\frak A$ 满足如下条件的情况下， ${\sf Ex}({\frak A}^{op},{\sf Ab})$ 还满足[AB4]公理：

条件一：每个 $\frak A$ -态射 $s'\rightarrow s''$ 都是某个正合列 $s\rightarrow s'\rightarrow s''$ 的一部分
条件二： $\frak A$ 中任何不超过 $\alpha$ 个正合列的余积仍然是正合的

接下来我们开始反例的构造。

取 $\frak A$ 是这样一个范畴，其对象是所有基数不超过 $2^{\aleph_0}$ 的非阿基米德完备赋范阿贝尔群，态射是所谓的收缩，即：满足 $\| f(a)\|\le \| a\|$ 的阿贝尔群同态。

论文证明了：这个范畴 $\frak A$ 是一个加性范畴，且在 $\le \alpha$ 的余积下是封闭的，并且满足上面两个条件。因此根据前面的结论，它的 ${\sf Ex}({\frak A}^{op},{\sf Ab})$ 是一个阿贝尔范畴并且满足[AB4*]和[AB4]公理。

接着我们考察 $\frak A$ 中这样一个序列：

$\mathbb Z_p\xrightarrow{p} \mathbb Z_p\xrightarrow{p} \cdots\\$ 其中 $\mathbb Z_p$ 是 $p$ 进整数的加法群，态射 $p$ 表示乘以 $p$ 。Yoneda函子 ${\frak A}\rightarrow{\sf Ex}({\frak A}^{op},{\sf Ab})$ 把这一序列变成了 ${\sf Ex}({\frak A}^{op},{\sf Ab})$ 中的序列：

$B:{\frak A}(-,\mathbb Z_p)\xrightarrow{p} \mathbb {\frak A}(-,\mathbb Z_p)\xrightarrow{p} \cdots\\$ 可以证明： ${\rm colim}^1$ 在这一序列上是消失的。

我们在考察 $\frak A$ 中的两个序列及其间态射：

$\array{ \mathbb Z_p &\stackrel{1}{\to}& \mathbb Z_p &\stackrel{1}{\to}& \mathbb Z_p &\stackrel{1}{\to}& \cdots \\ \downarrow^1&& \downarrow^p && \downarrow^{p^2} && \downarrow \\\mathbb Z_p&\stackrel{p}{\to}& \mathbb Z_p&\stackrel{p}{\to}&\mathbb Z_p &\stackrel{p}{\to}& \cdots }\\$ 将Yoneda函子作用在其上，就得到了 ${\sf Ex}({\frak A}^{op},{\sf Ab})$ 中两个序列及其间的态射 $A\rightarrow B$ ，并且这是一个单同态，我们取它的商得到序列 $C$ 以及一个短正合列：

$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0\\$ 我们将 ${\rm colim}^1$ 作用在该正合列上，就得到了正合列：

${\rm colim}^1 C\rightarrow {\rm colim}^1 A\rightarrow {\rm colim}^1B\\$ 注意： $A$ 是常值列，因此 ${\rm colim}^1 A\ne 0$ ，故必然 ${\rm colim}^1 C\ne 0$ 。但另一方面， $C$ 又是一个由单态射组成的序列，这就构成了Jan-Erik Ingvar Roos的“定理”的反例。

说这个反例很大，一方面在于其构造非常复杂，无论是阿贝尔范畴 ${\sf Ex}({\frak A}^{op},{\sf Ab})$ 还是序列 $C$ ，都需要大量引理和结论作为铺垫。另一方面还在于其影响也非常深远，在它被构造出来之前，很多工作都用到了Jan-Erik Ingvar Roos的“定理”，这一反例导致这些工作不得不被重塑。