来个猎奇的,五次方程的超几何函数解:

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首先,我们有个系数都是有理数的五次方程 Eqa

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不管怎么说我们都可以把五次项的系数变成 1 对吧?

其中

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想想三次方程怎么解的我们可以消掉四次项

令

,我们可以得到如下形式的方程

然后对比下系数我们能得到

接下来的内容会越来越暴力,直至少儿不宜....现在按返回还来得及!!!!

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刚刚那个是一次代换对吧,然后我们可以用二次代换

把式子变成等价的消去三次项的形式 Eqd

其中...系数的话...真要比对还是可以比对出来的

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一次二次然后接下来四次代换

来变成

的形式

其中

特别感谢 Mathematica 的一键 Latex....不然我已经输公式而死了...

然后要用 di 表示 ei 也不是不可以,也就这个样子罢了:

注意滑动条和缩放比例....

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接下来还要做代换

变成

的形式,

其中

,嗯,这一步挺简洁的

然后想想 e0 和 e1 的表达式有多长,然后想想还要一步步回代到 ai,然后想想全部展开.....

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当然你说这个死样几百年前的古代数学家怎么可能搞得出来.....

我说了这个是猎奇向答案,所以这个是用牛顿恒等式(Newton's identities)算出来的,因为这个编程实现比较容易.

实际上我们有一种叫做结式(Resultant)的方法稍微容易的计算出表达式....

SE 上有这个过程,有兴趣可以看看:

field theory

,还附带椭圆函数解法...不过没有超几何函数解法优雅...

但是不管怎么说 g0 还是可以用根式表达出来的.

这个形式被称为布灵·杰拉德正规式

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解这个方程就真的是暴力美学了

考虑三项式方程

令

,所以

,因此有

两边做拉格朗日展开

然后我们来把上面一坨写成超几何函数

有点看不清....我们来写成 Mathematica 代码:

x[m_,n_Integer,t_]:=
Sum[-((t^k*E^((2*Pi*I*(k-1)*m)/n)*Pochhammer[(k-1)/n+1,k-1]*
HypergeometricPFQ[Range[n]/(n+1)+(k-1)/n,
Delete[Range[k+1,k+n],n-k]/n,
(n+1)*(((n+1)*t)/n)^n])/(n*k!)),{k,0,n-1}]
TraditionalForm[x[1,4,\[Lambda]]]

代码输出了以下答案

唔....也许你对这个结果的优雅性没有感觉...

这样说吧,四次方程的根式解输入知乎是这个样子的

但是用超几何函数记法可以优雅简洁的写成

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嗯,所以结论就是绝大多数五次方程没有根式解,绝大多数有根式解手算化不成布林 - 杰拉德形式,绝大多数可以化简的写成超几何函数形式也长的没法手算....所以

天灭解析式,数值保平安