Question

如何用根号表示Sin1°?

查看知乎讨论

Answer 1

畦哇硅，清华数学零字班，加我看猫猫！查看知乎原文

既然题主希望看到的是“数学之美”，我们就直接“美”给题主看。

注意：本篇回答中，根号取值的方法依据 Mathematica ，是这样的：

$\sqrt[n]{r\mathrm e^{\mathrm i\theta}}=\sqrt[n]{r}\mathrm e^{\mathrm i\frac\theta n},$

其中

$r>0,-\pi<\theta\le \pi.$

例如，

$\sqrt[3]{-8}=1+\mathrm i\sqrt{3}.$

也就是，每个根号都取实部最大的值，实部相同的取虚部大于零的值。

我之前搞错了，现已改正。

答案

$\sin 1^\circ = \frac12\sqrt{ 2-\sqrt{2+ \frac{ 4+\sqrt[3]{ 8+8\sqrt{5}-4\sqrt{30+6\sqrt{5}}+4\sqrt{150+30\sqrt5} + \left( -2\sqrt2+2\sqrt{10}+4\sqrt{15+3\sqrt5} \right) \sqrt{ -14+2\sqrt5-\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{150+30\sqrt5} } } } { 2\sqrt[3]{ -1+\sqrt5+\sqrt{30+6\sqrt5}+\sqrt{ -28+4\sqrt5-2\sqrt{30+6\sqrt{5}}+2\sqrt{150+30\sqrt5} } } } } }$

旋转版：

得到答案的方法

根据三倍角公式：

$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$

，正确使用 Cardano 公式解得：当

$3x$

是锐角时，

$\cos x=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{\cos 3 x+\sqrt{\cos^2 3 x-1}}}+{\sqrt[3]{\cos 3 x+\sqrt{\cos^2 3 x-1}}}\right).$

当

$x$

是锐角时，

$\cos x=\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}}.$

我们知道

$\cos 36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}$

。而

$36^\circ=3\times3\times2\times2\times1^\circ$

，所以反复使用上述两个公式即可得出

$\sin 1^\circ$

。

最后，综合使用 Mathematica 的化简功能和眼睛、草稿纸来尽可能地化简我们所得到的东西，就得到了上述结果。

这堆东西确实正确的证据：

猫猫

$\cos 36^\circ$

的一种计算方法：

画出如图的三角形，令

$BC=1,AB=x.$

图中全部都是等腰三角形，所以

$AD=BD=1,CD=x-1.$

因为

$\triangle ABC$

和

$\triangle BCD$

相似，所以

$\frac x1=\frac 1{x-1},$

推出

$x=\frac{1+\sqrt5}{2}.$

正弦定理：

$\frac x1=\frac{\sin 72^\circ}{\sin 36^\circ}=2\cos36^\circ,$

所以

$\cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}$

。

那一大堆东西的

$\LaTeX$

代码：

\sin 1^\circ = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\frac{4+\sqrt[3]{8+8\sqrt{5}-4\sqrt{30+6\sqrt{5}}+4\sqrt{150+30\sqrt5}+\left(-2\sqrt2+2\sqrt{10}+4\sqrt{15+3\sqrt5}\right)\sqrt{-14+2\sqrt5-\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{150+30\sqrt5}}}}{2\sqrt[3]{-1+\sqrt5+\sqrt{30+6\sqrt5}+\sqrt{-28+4\sqrt5-2\sqrt{30+6\sqrt{5}}+2\sqrt{150+30\sqrt5}}}}}}

耍赖的答案（感谢精选评论指出错误）

$\sin 1^\circ=\frac{1}{2\sqrt{-1}}\left(\sqrt[180]{-1}-\frac1{\sqrt[180]{-1}}\right).$