《经典力学》札记： 32（速度有关的力）

龚明，中国科学技术大学

牛顿力学中，力是势场的梯度，我们有\begin{equation*} {\bf F} = -\partial_{\bf x} U({\bf x}). \end{equation*}我们的日常经验告诉我们，势能是位置的函数，和速度无关，所以力和位置有关，而和速度无关。这个关系对我们理解一些自然现象有非常大的帮助的，如果${\bf F}({\bf x})$和速度无关，那么自然是满足伽利略变换不变性的。但是我们还是有很多问题，它们的力和速度有关---本文讨论的问题还是在欧几里得坐标系下展开的，如果在广义坐标下研究这个问题，而广义坐标是可以任意选择的，那么力和速度有关就不奇怪了。但是在我们的日常生活中，还是有不少运动的力和速度有关。

1. 阻尼力

阻尼力一般可以写成\begin{equation*} {\bf f} = -\gamma {\bf v}. \end{equation*}这个力可以如此理解。如果它和位置有关，则是抛物势的梯度了，而阻尼力是消耗能量的。因此，它不可能是位置的函数，而只能是速度的函数。它和我们的生活经验也是符合的，一个在平面内做阻尼运动的物体，速度越大，产生的热量越多。但是要注意，不是所有的摩擦都和速度有关，比如大量的实验证明，摩擦力$f = \mu N$，其中$\mu$为摩擦力系数，它和物理的运动速度无关。

2. 电磁学的Lorentz力

Lorentz力给出\begin{equation*} {\bf f} =e ({\bf E} + {\bf v} \times {\bf B}). \end{equation*}这个关系对任何速度都是成立的。显然意见，它不符合伽利略变换不变性。假设在不同的参考系上看这个问题，电场和磁场是一样的，但是它们的速度不同，则力不同。我们看到，磁场的力垂直与速度方向，所以磁场只会导致回旋运动而不做功。

（图片来自网络：https://www.zhihu.com/question/406884475）

3. 科里奥利力（Coriolis）

假设非惯性参考系$S'$绕着惯性参考系$S$运动，那么$S'$中的任意矢量，在惯性参考系看其运动满足（即著名的哥氏定理/科里奥利力定理）\begin{equation*} {d {\bf A} \over dt} ={d {\bf A} \over dt }|_{S'} + {\boldsymbol \omega} \times {\bf A}. \end{equation*}这个公式的意义非常明确，在惯性参考系的运动方程由两个部分构成，即非惯性参考系的运动速度加上转动导致的连带速度。如果${\bf A} = {\bf r}$，那么我们得到速度\begin{equation*} {\bf v} = {\bf v}' + {\boldsymbol \omega} \times {\bf r}. \end{equation*} 从而可以计算得到加速度\begin{equation*} {\bf a} = {\bf a}' + 2{\boldsymbol \omega} \times {\bf v}' + {d{\boldsymbol \omega} \over dt} \times {\bf r} + {\boldsymbol \omega}\times ({\boldsymbol \omega} \times {\bf r}). \end{equation*} 这个结果里面包括了一个科里奥利力 \begin{equation*} {\bf f}_c = - 2m {\boldsymbol \omega} \times {\bf v}'. \end{equation*} 可以看出来，非惯性系会感受到一个和速度相关的力。

在经典力学中，我们会讨论在非惯性系统中的有效拉格朗日量，以及对应的拉格朗日方程。所以拉格朗日方程不仅可以在任意广义坐标下写出来，而且可以被推广到非惯性系，即它适用于任意参考系---自然也包括未来部分学生会涉及到的天体物理和广义相对论等。

科里奥利力和Lorentz力有许多相似的地方。如果我们将质量替换为电荷，角速度替换为磁场，那么Lorentz力和科里奥利力就可以互换。此外，这些力都和运动方向是垂直的，它们改变了运动方向，但是不对系统做功。对科里奥利力而言，这是显而易见的，因为科里奥利力是一个虚构的力，它只在非惯性系中存在；在惯性系统中就消失了。

本文写完后，作者发现下面的网页对Lorentz力和科里奥利力之间的类比关系有一个更加详细的推导和证明（题目为[Physics] Resemblance between Coriolis force and magnetic part of Lorentz force）：

https://imathworks.com/physics/physics-resemblance-between-coriolis-force-and-magnetic-part-of-lorentz-force/

(图片来自百度图片，各种不同的科里奥利质量流量计）

科里奥利力的应用非常广泛：1）地理学的柏尔定律说的是，在地球上北（南）半球的河流，沿着河流方向右（左）边的何道冲刷更加严重；2）信风在吹拂过程中会发生偏转； 3）傅科摆可以用来确定地球的自转； 4）质量流量计，以及在石油、天然气等测量方面的应用。这是因为${\bf F} = g m \boldsymbol{\omega} \times {\bf v} = m {\bf a}$，所以它可以测量质量/流量。可见，科里奥利力不仅在很多领域有重要应用，它也有具体的应用价值。

总结：本文将几个常见的力和速度的关系拿出来对比和总结。我们看到这个关系在理论物理中有重要应用，而且也导致一些具体的实际应用。鉴于科里奥利力已经被广泛讨论，本文的科普方面的价值在于将它和几种和速度有关的力放在一起比较，由此可以突显出它们的独特性。

补充材料：科里奥利（Coriolis, Gustave Gaspard de，1792～1843）法国物理学家。1808年进拿破仑工科学校求学，毕业后在该校任教。1836年当选为法国科学院院士。1838年起在巴黎综合工科学校教授数学物理，并担任业务主任。他是对动能和功给出确切的现代定义的第一个人（1929年），也是第一个提出科里奥利力（1835年）。他的研究，多和具体应用问题有关。---来自百度百科。