分享一下我自己的学习路线。我个人是做分析的，推荐的路线和教材也大体是分析类的。

大一：数学分析、高等代数、概率论。特别是数学分析和高等代数，学一遍肯定是不够的。这两门奠基性的课程，每学一遍都会有新的感悟。我个人比较喜欢的教材是Patrick M.Fitzpatrick的《高等微积分》，机械工业出版社的黄书，写得很不错。更深的还是推荐Zorich《数学分析》，这本书大概大二暑期或者大三上半来看比较好。概率论入门的话，应用方向印象深刻的教程应该就是人民邮电出版社的《概率导论》（By Dimitri P. Bertsekas & John N. Tsitsiklis）。

大二-大三：调和分析我学得不深，就不妄加评议了。常微分方程方面，R.ClarkRobinson 的《动力系统导论》（也是机械工业出版社的黄书）是我反复推荐的。这本书比较厚，大概看前一至七章也够了。更深的内容可以看看张筑生的《微分动力系统原理》。

偏微分方程方面，首先是古典理论即数学物理方程，吴崇试的《数学物理方法》可以作为一个简单的入门，作为数学系，重点还是偏微分方程的现代理论，这方面很多人推荐过 EVans 的《Partial Differential Equation》，但这本书初学还是有点难的，我更推荐奥列尼克的《偏微分方程讲义》。

泛函分析方面，好的书浩如烟海，但和偏微分方程以及非线性泛函分析联系最为紧密的还是 Brezis 的《泛函分析:理论和应用》。Ciarlet 的《线性与非线性泛函分析及其应用》（上册）也不错。

微分几何方面，我个人首先读的是米尔诺的《从微分观点看拓扑》，然后是 do Carmo的《Riemann Geometry》，以及米尔诺的《Morse理论》。后两本都需要涉及一点儿代数拓扑，比如基本群、覆叠空间与覆叠变换的一些基本性质、同调群以及切除定理等等。

研究生期间，我的主要精力就是微分几何（指标理论）以及非线性分析。Atiyah-Singer 的指标理论方面，苏竞存的《流形的拓扑学》是基于拓扑 K 理论讲解的，读感还不错，但是和分析联系得并不紧密。基于分析方面的指标定理，可以参考Michael E. Taylor 的《Partial Differential Equations ll》，P.S. 这套书可是个宏篇巨著！

非线性分析方面，Ciarlet 的《线性与非线性泛函分析及其应用》（下册）是一个粗浅的入门，比较深的内容可以参考张恭庆的《非线性分析方法》，这本书可以视为一个非线性泛函分析的大综述，包括非线性映射的微分学、拓扑度理论、分歧问题、变分法（包括 Hardy空间上的变分问题）以及Morse理论、Conley指标理论等等。

博士阶段转向了经济学。虽然研究生期间学习过严格的随机分析，但是事实上这时候我才正式研究随机数学。Lucas 的《经济动态的递归方法》可以视为基于测度论的所谓“高等概率论”和马尔可夫过程的优秀教材，Nancy L. Stokey 的《不行动经济学：存在固定成本时的随机控制模型》对随机微分方程、鞅理论以及随机控制都作了简要而严格的处理和讨论，非常不错。

最后，还有一本老书：《随机分析选讲》，我读了方诗赞写的部分，即流形上的随机分析，还是蛮简明的。